Модели определения оптимального размера партии запасов: вариации модели EOQ и модель EPR
опубликовано
в журнале "Финансовый менеджмент" №1 – 2012
Проблемы, связанные с определением оптимального размера партии запасов уже достаточно давно являются предметом научного внимания. Их изучением занимаются в рамках теории производственного менеджмента, логистики, финансового менеджмента. По сути ни один из современных учебников по финансовому менеджменту не обходит своим вниманием модель EOQ, рассматривая ее как важнейший инструмент управления запасами с позиции оптимизации затрат и рабочего капитала предприятия*.
Хотя формально вопросы, связанные с управлением запасами напрямую не относятся к компетенции финансовой службы предприятия, а являются прерогативой планово-экономической службы.
Однако в большинстве случаев под термином «модель EOQ» понимается лишь одна из моделей этого семейства – модель Уилсона. В рамках настоящей статьи мы предприняли попытку рассмотреть и другие модели, разобрать механизм их работы и особенности появления.
Изначально для учета и отслеживания движения запасов на предприятии использовались карточки складского учета, в которых отражалось поступление материалов на склад, их отпуск со склада, текущий остаток. Использование этой технологии приводило к тому, что когда какой-либо материал был полностью израсходован, формировался заказ поставщику. В этом случае, поскольку поставка не могла произойти моментально, в течение некоторого периода времени необходимый материал просто отсутствовал на складе (рис. 1).
Изначально для учета и отслеживания движения запасов на предприятии использовались карточки складского учета, в которых отражалось поступление материалов на склад, их отпуск со склада, текущий остаток. Использование этой технологии приводило к тому, что когда какой-либо материал был полностью израсходован, формировался заказ поставщику. В этом случае, поскольку поставка не могла произойти моментально, в течение некоторого периода времени необходимый материал просто отсутствовал на складе (рис. 1).
Следующим шагом, направленным на исключение такой ситуации стало установление некоторого минимального уровня запасов на складах, по достижении которого необходимо формировать заказ на поставку новых материалов – точки перезаказа (рис. 2).
Одним из наиболее простых способов ее определения является следующий (формула 1):
Основное преимущество данной модели, связанное с сохранением непрерывности производственного процесса вследствие постоянного наличия материала на складе (что не имело место в рамках простейшей модели управления), нивелировалось тем, что и время ожидания поставки, и процесс расходования материалов на производстве не являются стабильными, а подвержены влиянию различных случайных факторов (например, брак на производстве или рост спроса на готовую продукцию увеличивают потребности в материалах; поставщики могут нарушить сроки поставок и непрерывность производственного процесса будет нарушена). Для того, чтобы обезопасить себя от подобного рода проблем целесообразно вводить страховой запас (рис. 3)
Точка перезаказа = Ежедневная потребность в материалах * Время ожидания поставки
Основное преимущество данной модели, связанное с сохранением непрерывности производственного процесса вследствие постоянного наличия материала на складе (что не имело место в рамках простейшей модели управления), нивелировалось тем, что и время ожидания поставки, и процесс расходования материалов на производстве не являются стабильными, а подвержены влиянию различных случайных факторов (например, брак на производстве или рост спроса на готовую продукцию увеличивают потребности в материалах; поставщики могут нарушить сроки поставок и непрерывность производственного процесса будет нарушена). Для того, чтобы обезопасить себя от подобного рода проблем целесообразно вводить страховой запас (рис. 3)
Его применение вносит некоторые коррективы в алгоритм расчета точки перезаказа (формула 2):
Аналогичным образом происходит корректировка величины остатка запасов (q).
Для расчета оптимального размера страхового запаса в условиях неопределенности используются методы математической статистики и теории вероятности. В частности, можно использовать достаточно известную формулу расчета страхового запаса (формула 3):
Точка перезаказа = Ежедневная потребность в материалах * Время ожидания поставки + Страховой Запас
Аналогичным образом происходит корректировка величины остатка запасов (q).
Для расчета оптимального размера страхового запаса в условиях неопределенности используются методы математической статистики и теории вероятности. В частности, можно использовать достаточно известную формулу расчета страхового запаса (формула 3):
где:
k – коэффициент безопасности, который определяет степень защиты от дефицита, рассчитывается в зависимости от принятого значения вероятности дефицита*;LT – средняя длительность выполнения заказа;
D – среднее значение потребности в сырье и материалах;
var LT, var D – среднеквадратические отклонения потребности соответственно в сырье и материалах и времени выполнения заказа.
Необходимо отметить, что данный метод применим при большом количестве операций, когда работают законы статистики. Практика показывает, что предположение о нормальном распределении случайных величин (потребности в запасах, времени выполнения заказа) дает наилучшие результаты при моделировании управления запасами.
Конкретное значение коэффициента k можно вычислить в программе Excel, подставив в функцию «НОРМСТОБР» принятое значение вероятности дефицита запасов и взяв модуль полученного значения. Следует учитывать, что при Р = 0,5 коэффициент k будет равен 0. Это означает, что при P >= 0,5 оптимальным будет не создавать страховой запас.
Модели определения оптимального размера заказа материалов (модели EOQ, Economic Ordering Quantity)
Отличительной особенностью всех трех рассмотренных моделей управления запасами является равномерное расходование запасов (q) на производственные нужды. Данная логика была заложена в одну из наиболее известных моделей управления запасами – модели EOQ. Она позволила ответить на вопрос «Сколько каждый раз необходимо заказывать материалов у поставщика?». Таким образом, размер заказа на закупку материалов (q) является в этой модели регулируемой величиной.
Феномен модели EOQ можно объяснить ее универсальностью и адаптивностью: подход, в основе которого она лежит, находит применение и полностью согласуется с современными логистическими концепциями, такими как планирование ресурсов предприятия (Enterprise Resource Planning – ERP), управление цепями поставок (Supply Chain Management – SCM) и др., а также с принципом «точно в срок» (Just in Time — JIT).
Данная экономико-математическая модель имеет не столько прикладное, сколько теоретическое значение, а главное – позволяет достигнуть компромисса между различными составляющими затрат на формирование и содержание запаса при поиске его оптимального уровня. Модель EOQ является одной из ключевых категорий классической теории запасов (Theory of Inventory), а EOQ подход – одним из наиболее эффективных инструментов решения проблемы количественной оптимизации поставок (Lot Sizing Problem – LSP) и современных систем логистического менеджмента.
Феномен модели EOQ можно объяснить ее универсальностью и адаптивностью: подход, в основе которого она лежит, находит применение и полностью согласуется с современными логистическими концепциями, такими как планирование ресурсов предприятия (Enterprise Resource Planning – ERP), управление цепями поставок (Supply Chain Management – SCM) и др., а также с принципом «точно в срок» (Just in Time — JIT).
Данная экономико-математическая модель имеет не столько прикладное, сколько теоретическое значение, а главное – позволяет достигнуть компромисса между различными составляющими затрат на формирование и содержание запаса при поиске его оптимального уровня. Модель EOQ является одной из ключевых категорий классической теории запасов (Theory of Inventory), а EOQ подход – одним из наиболее эффективных инструментов решения проблемы количественной оптимизации поставок (Lot Sizing Problem – LSP) и современных систем логистического менеджмента.
Модель Ф. Харриса
В экономической литературе, в том числе в области финансового менеджмента наиболее часто базовую модель EOQ для детерминированных условий называют формулой Уилсона, официальная публикация модели которого состоялась в 1934 году, хотя период ее появления датируется учеными достаточно широким временным диапазоном (1916–1934 гг.).
По другой распространенной версии автором модели EOQ считается американский инженер Ф. Харрис (F. Harris), обосновавший формулу расчета оптимального размера заказа в 1915 г. в своей статье, хотя первые результаты его исследований были опубликованы еще несколько ранее.
Таким образом, именно работу Харриса можно считать основополагающей. Он вывел и обосновал модель определения оптимального производственного заказа схожую, но все же отличающуюся от моделей Уилсона, Андлера, Маршака и других ученых, работавших в этой же предметной области.
Модель Ф. Харриса имеет следующий вид (формула 4):
По другой распространенной версии автором модели EOQ считается американский инженер Ф. Харрис (F. Harris), обосновавший формулу расчета оптимального размера заказа в 1915 г. в своей статье, хотя первые результаты его исследований были опубликованы еще несколько ранее.
Таким образом, именно работу Харриса можно считать основополагающей. Он вывел и обосновал модель определения оптимального производственного заказа схожую, но все же отличающуюся от моделей Уилсона, Андлера, Маршака и других ученых, работавших в этой же предметной области.
Модель Ф. Харриса имеет следующий вид (формула 4):
где:
P – затраты на подготовку обработки партии деталей (изделий);
S – дневной темп (интенсивность) выпуска;
C – себестоимость единицы продукции;
k – постоянная переменная, в которую входят такие слагаемые, как процент на капитал, складские расходы, страховые взносы, налоги и пр.
Критерием оптимизации в модели, также как и во всех последующих, является минимум общих затрат на формирование и содержание запаса за планируемый период.
P – затраты на подготовку обработки партии деталей (изделий);
S – дневной темп (интенсивность) выпуска;
C – себестоимость единицы продукции;
k – постоянная переменная, в которую входят такие слагаемые, как процент на капитал, складские расходы, страховые взносы, налоги и пр.
Критерием оптимизации в модели, также как и во всех последующих, является минимум общих затрат на формирование и содержание запаса за планируемый период.
Модель Уилсона
Нахождение оптимальной величины заказа в модели Уилсона также было основано на минимизации различных видов затрат, связанных с объемом закупки:
Рассмотрим логику модели Уилсона более подробно, поскольку именно она получила в научном мире наибольшее признание и считается одним из наиболее удачных вариантов развития модели Ф. Харриса.
Прежде всего, необходимо описать поведение выделенных затрат, поскольку оно носит разнонаправленный характер.
В частности, с ростом объема заказа затраты, связанные с хранением запасов будут пропорционально возрастать, поскольку наиболее частой практикой на предприятиях является установление определенного норматива затрат на единицу материала в соответствии с их номенклатурой. Графически это можно представить следующим образом (рис. 4 А). Угол наклона α напрямую характеризует величину норматива затрат на единицу материала. Вместе с тем, с ростом объема заказа будут снижаться затраты, связанные с выполнением заказа ввиду скидок за покупку и доставку. Графически это можно представить следующим образом (рис. 4 Б).
- затрат, связанных с хранением запасов (стоимость капитала, обездвиженного в запасах; затраты на содержание товара на складе);
- затрат, связанных с выполнением заказов (затраты на ведение учетной документации; транспортные расходы на доставку заказов; затраты, связанные с размещением заказов, и т. д.)*.
Рассмотрим логику модели Уилсона более подробно, поскольку именно она получила в научном мире наибольшее признание и считается одним из наиболее удачных вариантов развития модели Ф. Харриса.
Прежде всего, необходимо описать поведение выделенных затрат, поскольку оно носит разнонаправленный характер.
В частности, с ростом объема заказа затраты, связанные с хранением запасов будут пропорционально возрастать, поскольку наиболее частой практикой на предприятиях является установление определенного норматива затрат на единицу материала в соответствии с их номенклатурой. Графически это можно представить следующим образом (рис. 4 А). Угол наклона α напрямую характеризует величину норматива затрат на единицу материала. Вместе с тем, с ростом объема заказа будут снижаться затраты, связанные с выполнением заказа ввиду скидок за покупку и доставку. Графически это можно представить следующим образом (рис. 4 Б).
Иногда к этим видам затрат добавляют убытки, возникшие из-за дефицита запасов, расходы в виде потери части прибыли либо потери клиентов и части деловой репутации компании, что например, можно видеть в модели AHM.
Сложив оба графика можно получить кривую совокупных операционных затрат, связанных с заказом соответствующего объема материалов. Нижняя точка данной кривой проходит через пересечение кривых затрат на хранение запасов и затрат на оформление заказа, отражая оптимальный размер заказа EOQ, поскольку при этом размере заказа совокупные затраты будут минимальны (рис. 5).
Расчет оптимального размера заказа EOQ осуществляется по формуле 5:
где:
Q – общая потребность в материалах в течение рассматриваемого периода (одного года);
O – затраты, связанные с оформлением одного заказа;
С – затраты, связанные с хранением единицы запаса.
Математически алгоритм определения оптимального размера заказа выглядит следующим образом.
Совокупные операционные затраты (ТС – Total Costs) по формированию запасов определяются как сумма затрат, связанных с оформлением заказа и затрат, связанных с хранением запасов (формула 6):
Q – общая потребность в материалах в течение рассматриваемого периода (одного года);
O – затраты, связанные с оформлением одного заказа;
С – затраты, связанные с хранением единицы запаса.
Математически алгоритм определения оптимального размера заказа выглядит следующим образом.
Совокупные операционные затраты (ТС – Total Costs) по формированию запасов определяются как сумма затрат, связанных с оформлением заказа и затрат, связанных с хранением запасов (формула 6):
Чтобы минимизировать совокупные затраты необходимо дифференцировать данное выражение по q и приравнять первую производную к нулю (формула 7):
Из полученного выражения находится qEOQ (формула 8):
Принципиальное различие между формулами Харриса и Уилсона заключается в том, что Ф. Харрис рассматривал затраты на содержание (хранение) запаса как пропорциональные максимальному размеру текущего запаса, а Р. Уилсон – среднему размеру хранимого запаса. Отсюда в модели Уилсона появляется в числителе подкоренного выражения коэффициент 2, а получаемый при численных расчетах результат различается приблизительно в 1,4 раза.
Модель Арроу-Т.Харриса-Маршака
Данная модель определения оптимального объема поставки исходит из той же проблемной области, как и две предыдущих, однако вносятся некоторые уточнения:
В модели AHM* совокупные затраты состоят из двух частей: во-первых, постоянных затрат на приобретение партии k и, во-вторых, расходов на хранение и неполученного процента из-за замораживания капитала в материальных ресурсах на складе. Расходы на хранение определяются как доля от стоимости материалов, находящихся на складе. Применяемый для этого коэффициент нормы расходов на хранение l показывает размер затрат на хранение товаров стоимостью в 100 у.е.* в течение года. Неполученный из-за замораживания капитала процент рассчитывается с помощью заданной учетной ставки процента z.
Границы решения лежат в интервале между двумя крайними ситуациями.
- политика закупок определяется для каждого отдельного вида материалов,
- заранее известны поставщики и условия поставки,
- годовая потребность в материале составляет М единиц и в рассматриваемом периоде (год) распределяется равномерно, ее объем не меняется в течение неопределенного времени;
- закупка может осуществляться в любых необходимых количествах и в любой момент времени;
- известна закупочная цена единицы материала, помимо собственно цены материала в нее входят расходы на упаковку, транспортировку и прочие расходы, если их можно рассчитать на единицу закупаемого материала.
В модели AHM* совокупные затраты состоят из двух частей: во-первых, постоянных затрат на приобретение партии k и, во-вторых, расходов на хранение и неполученного процента из-за замораживания капитала в материальных ресурсах на складе. Расходы на хранение определяются как доля от стоимости материалов, находящихся на складе. Применяемый для этого коэффициент нормы расходов на хранение l показывает размер затрат на хранение товаров стоимостью в 100 у.е.* в течение года. Неполученный из-за замораживания капитала процент рассчитывается с помощью заданной учетной ставки процента z.
Границы решения лежат в интервале между двумя крайними ситуациями.
- Годовая потребность в материале покрывается за счет единовременной поставки. В этом случае постоянные издержки на приобретение возникают один раз за период, однако значительно возрастают расходы на хранение из-за увеличения запасов на складе.
- Поставки осуществляются ежедневно и расходы на хранение, тем самым, минимальны. Снижение расходов на хранение компенсируется ростом постоянных издержек на приобретение, возникающих ежедневно.
Модель Арроу-Харриса-Маршака часто называют именно модель AHM (по первым буквам латинского написания имен создателей модели: Arrow – Harris – Marschak)
В оригинале у авторов – марок.
Совокупные затраты, связанные с формированием запасов, определяются с помощью пяти параметров: годовой потребности в материале М, закупочной цены за единицу материала р, постоянных расходов на приобретение партии k, нормы расходов на хранение l и ставки неполученного из-за замораживания капитала процента z.
Логика рассуждений авторов во многом повторяет логику рассуждений Р. Уилсона. Материал закупается M / x раз в год. При этом постоянные издержки на приобретение составляют (M / x)*k в год.
Годовые расходы на хранение и размер неполученного процента на замороженный капитал рассчитываются от средней величины складских запасов на период между поставками в объеме х. Средний уровень складских запасов равен x/2. Стоимость хранящихся материалов, на основе которой рассчитываются расходы на хранение и неполученный процент, определяется как (x/2)*p.
Таким образом, совокупные затраты, связанные с формированием запасов определяются следующим образом (формула 9):
Логика рассуждений авторов во многом повторяет логику рассуждений Р. Уилсона. Материал закупается M / x раз в год. При этом постоянные издержки на приобретение составляют (M / x)*k в год.
Годовые расходы на хранение и размер неполученного процента на замороженный капитал рассчитываются от средней величины складских запасов на период между поставками в объеме х. Средний уровень складских запасов равен x/2. Стоимость хранящихся материалов, на основе которой рассчитываются расходы на хранение и неполученный процент, определяется как (x/2)*p.
Таким образом, совокупные затраты, связанные с формированием запасов определяются следующим образом (формула 9):
График поведения совокупных затрат представлен на рис. 6.
Чтобы минимизировать совокупные затраты необходимо также как и в модели Уилсона дифференцировать данное выражение по х и приравнять первую производную к нулю (формула 10):
Из полученного выражения находится хEOQ (формула 11):
Безусловным достоинством рассмотренной модели является выделение авторами ставки альтернативных затрат по хранении запасов – z. Это позволяет существенно расширить границы применения модели и использовать ее в целях максимизации благосостояния акционеров. Прямую взаимосвязь между моделью АНМ и ростом благосостояния акционеров компании можно проследить на примере расчета остаточного дохода (RI) – одного из показателей, позволяющего оценить экономическую прибыль, максимизация которой – основа роста благосостояния собственников.
Применительно к запасам с помощью модели остаточного дохода можно определить их вклад в создание прибыли за вычетом альтернативной стоимости капитала, инвестированной в запасы. Формализовать это можно следующим образом (формула 12):
Применительно к запасам с помощью модели остаточного дохода можно определить их вклад в создание прибыли за вычетом альтернативной стоимости капитала, инвестированной в запасы. Формализовать это можно следующим образом (формула 12):
RI = Выручка – Себестоимость реализованной продукции – Затраты на оформление заказа – Явные затраты по хранению запасов – Альтернативные затраты по хранению запасов
где P sales – продажная цена единицы продукции; E xp– прочие затраты, формирующие себестоимость единицы продукции.
Дифференцируя данное выражение по х и приравнивая первую производную 0 можно получить решение, позволяющее минимизировать совокупные затраты, а следовательно, максимизирующее остаточный доход (формула 13):
Дифференцируя данное выражение по х и приравнивая первую производную 0 можно получить решение, позволяющее минимизировать совокупные затраты, а следовательно, максимизирующее остаточный доход (формула 13):
Совершенно очевидно, что полученный результат полностью совпадает с формулой EOQ модели АНМ.
Модель управления запасами готовой продукции (EPR)
Модель EPR (Economic Production Run) является модификаций модели EOQ и используется в целях синхронизации производства и сбыта. Данная модель позволяет рассчитать оптимальный размер одной партии выпуска, минимизирующий совокупные операционные затраты по переработке и хранению единицы запасов готовой продукции (формула 14):
где:
Q – объем выпуска продукции за рассматриваемый период;
S – затраты по переработке одного изделия;
C – стоимость хранения единицы запасов готовой продукции в течение 1 года.
Модель EPR менее распространена на практике, поскольку может применяться только на тех предприятиях, где в силу специфики производственного процесса можно варьировать размер одной партии выпуска. Одновременное применение моделей EOQ и EPR позволяет синхронизировать три последовательных стадии финансового цикла – снабжение, производство, сбыт, что дает возможность его существенно сократить.
В заключении отметим, что применение рассмотренных моделей требует учета ограничений, которые вводились авторами, однако это не в полной мере ограничивает области их использования. В некоторых случаях можно дополнить или видоизменить базовые версии моделей. Так, например, в модели AHM закупочная цена является постоянной величиной. В случае, когда закупочные цены колеблются и период их колебания достаточно велик (например, цены изменяются ежегодно), расчеты производятся до и после изменения цены. Аналогичная ситуация наблюдается и при анализе скидок за объем приобретаемого материала. В данном случае для каждого интервала объема, на который установлена соответствующая скидка, определяется цена и на основе базовой модели рассчитывается предполагаемый объем закупок. С помощью простого сравнения всех полученных предполагаемых объемов закупки выбирается оптимальный.
Однако, не всякое ограничение области применения базовых моделей может быть преодолено с помощью ее видоизменения. Если объем потребности в материале не является постоянным, а характеризуется сезонными колебаниями или снижается в течение года, использование базовой модели невозможно. Во-первых, средний уровень запасов на складе между поставками уже не может определяться как половина объема единовременной поставки. Во-вторых, что более существенно, каждый раз необходимо закупать неодинаковое количество материала. Такая ситуация достаточно часто встречается в практической деятельности предприятия. Поэтому в экономической литературе стали появляться достаточно сложные, так называемые, динамические модели, позволившие устранить этот серьезный недостаток.
Q – объем выпуска продукции за рассматриваемый период;
S – затраты по переработке одного изделия;
C – стоимость хранения единицы запасов готовой продукции в течение 1 года.
Модель EPR менее распространена на практике, поскольку может применяться только на тех предприятиях, где в силу специфики производственного процесса можно варьировать размер одной партии выпуска. Одновременное применение моделей EOQ и EPR позволяет синхронизировать три последовательных стадии финансового цикла – снабжение, производство, сбыт, что дает возможность его существенно сократить.
В заключении отметим, что применение рассмотренных моделей требует учета ограничений, которые вводились авторами, однако это не в полной мере ограничивает области их использования. В некоторых случаях можно дополнить или видоизменить базовые версии моделей. Так, например, в модели AHM закупочная цена является постоянной величиной. В случае, когда закупочные цены колеблются и период их колебания достаточно велик (например, цены изменяются ежегодно), расчеты производятся до и после изменения цены. Аналогичная ситуация наблюдается и при анализе скидок за объем приобретаемого материала. В данном случае для каждого интервала объема, на который установлена соответствующая скидка, определяется цена и на основе базовой модели рассчитывается предполагаемый объем закупок. С помощью простого сравнения всех полученных предполагаемых объемов закупки выбирается оптимальный.
Однако, не всякое ограничение области применения базовых моделей может быть преодолено с помощью ее видоизменения. Если объем потребности в материале не является постоянным, а характеризуется сезонными колебаниями или снижается в течение года, использование базовой модели невозможно. Во-первых, средний уровень запасов на складе между поставками уже не может определяться как половина объема единовременной поставки. Во-вторых, что более существенно, каждый раз необходимо закупать неодинаковое количество материала. Такая ситуация достаточно часто встречается в практической деятельности предприятия. Поэтому в экономической литературе стали появляться достаточно сложные, так называемые, динамические модели, позволившие устранить этот серьезный недостаток.
Литература:
1. Долгов А. П. Модель EOQ в историческом разрезе: проблема идентификации авторства формулы // Логистика сегодня. – 2006. - № 5 (17).
2. Дональд Дж. Бауэрсокс, Дейвид Дж. Клосс Логистика: интегрированная цепь поставок. - М.: Олимп-Бизнес, 2001
3. Arrow K.J., Harris T.E., Marschak J. Optimal inventory policy // Econometrica. – 1951. – Vol. 19, No 3. – PP. 250-272.
4. Harris F. W. How Many Parts to Make at Once. Factory // The Magazine of Management. – 1913. – Vol. 10, №2. – PP. 135–136, 152. [перепечатана в: Operations Research. – 1990. – Vol. 38, №6, PP. 947–950].
5. Harris F. Operations and Cost // Factory Management Series. – Chicago, IL: A.W. Shaw Co., 1915. – PP. 48–52.
6. Wilson R.H. A scientific routine for stock control // Harvard business review. – 1934. – 5 (1). – PP. 116-128.
2. Donald J.. Bowersox, David J. Kloss Logistics: the integrated supply chain. - M.: Olymp-Business, 2001
3. Arrow K.J., Harris T.E., Marschak J. Optimal inventory policy // Econometrica. – 1951. – Vol. 19, No 3. – PP. 250-272.
4. Harris F. W. How Many Parts to Make at Once. Factory // The Magazine of Management. – 1913. – Vol. 10, №2. – PP. 135–136, 152. [reprinted in: Operations Research. – 1990. – Vol. 38, №6, PP. 947–950].
5. Harris F. Operations and Cost // Factory Management Series. – Chicago, IL: A.W. Shaw Co., 1915. – PP. 48–52.
6. Wilson R.H. A scientific routine for stock control // Harvard business review. – 1934. – 5 (1). – PP. 116-128.
1. Долгов А. П. Модель EOQ в историческом разрезе: проблема идентификации авторства формулы // Логистика сегодня. – 2006. - № 5 (17).
2. Дональд Дж. Бауэрсокс, Дейвид Дж. Клосс Логистика: интегрированная цепь поставок. - М.: Олимп-Бизнес, 2001
3. Arrow K.J., Harris T.E., Marschak J. Optimal inventory policy // Econometrica. – 1951. – Vol. 19, No 3. – PP. 250-272.
4. Harris F. W. How Many Parts to Make at Once. Factory // The Magazine of Management. – 1913. – Vol. 10, №2. – PP. 135–136, 152. [перепечатана в: Operations Research. – 1990. – Vol. 38, №6, PP. 947–950].
5. Harris F. Operations and Cost // Factory Management Series. – Chicago, IL: A.W. Shaw Co., 1915. – PP. 48–52.
6. Wilson R.H. A scientific routine for stock control // Harvard business review. – 1934. – 5 (1). – PP. 116-128.
References:
1. Dolgov A.P. Model EOQ in the historical context: the problem of identification of authorship formula // Logistics today. - 2006. - № 5 (17).2. Donald J.. Bowersox, David J. Kloss Logistics: the integrated supply chain. - M.: Olymp-Business, 2001
3. Arrow K.J., Harris T.E., Marschak J. Optimal inventory policy // Econometrica. – 1951. – Vol. 19, No 3. – PP. 250-272.
4. Harris F. W. How Many Parts to Make at Once. Factory // The Magazine of Management. – 1913. – Vol. 10, №2. – PP. 135–136, 152. [reprinted in: Operations Research. – 1990. – Vol. 38, №6, PP. 947–950].
5. Harris F. Operations and Cost // Factory Management Series. – Chicago, IL: A.W. Shaw Co., 1915. – PP. 48–52.
6. Wilson R.H. A scientific routine for stock control // Harvard business review. – 1934. – 5 (1). – PP. 116-128.
Авторы статьи
✔ А.А. Королева, преподаватель кафедры «Финансовый менеджмент», Московский финансово-промышленный университет «Синергия»
✔ В.А. Волнин, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой «Финансовый менеджмент», Московский финансово-промышленный университет «Синергия»
Также рекомендуем прочитать
